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origine des maths
hisoire des mathématiques
"Mathématiques" vient du grec « ta mathémata » qui signifie « ce qui peut être appris ». On situe habituellement la naissance de la démonstration mathématique en Grèce antique, bien qu'on sache que le calcul numérique et des algorithmes de résolution d'équations étaient connus des Babyloniens et que la géométrie et les fractions était déjà pratiquées par les Égyptiens.
Les mathématiques arabo-musulmanes ont poursuivi les traditions grecques (pour la géométrie), babyloniennes (pour l'algèbre) et indiennes (pour la numération).
Depuis la fin du Moyen Âge, les mathématiques occidentales ont fait la synthèse des traditions précédentes, avec tout de même jusqu'au XIXe siècle une prédominance d'Euclide.
Un peu à part, car la démonstration à la grecque n'y existe pas (avec cependant une vérification et une amélioration poussées des algorithmes), les mathématiques chinoises étaient spécialisées dans les algorithmes de résolution approchée d'équations de n'importe quel degré (c'est-à-dire trouver une solution) ainsi que dans les systèmes d'équations et la géométrie.
Les mathématiques peuvent être définies de plusieurs façons, complémentaires :
la science des nombres et de l’espace
la science des formes de déduction
la science des structures, des modèles ou de tous les mondes possibles
L’origine historique des mathématiques est liée à leurs applications concrètes, le commerce, la mesure des surfaces, la prédiction des évènements astronomiques.
L'adjectif mathématique qualifie tout objet, concept ou terme relatif aux mathématiques. Dans ce sens il s'accorde au mot auquel il est associé, contrairement au terme qui désigne la science des mathématiques, qui est le plus souvent employé au pluriel. La Mathématique, au singulier, n'est plus guère usité que de manière didactique.
L'expression "c'est mathématique" signifie qu'il existe une logique interne et inéluctable propre à l'évènement ou à la série d'évènements ainsi commentée.
!!!! Sommaire !!!!
1 Définitions des mathématiques
1.1 La science des nombres et de l’espace
1.2 La science des formes de déduction
1.3 La science de tous les mondes possibles
2 La logique et les théories des ensembles
3 L’arithmétique et les mathématiques discrètes
4 Les géométries
5 L’algèbre
6 L’analyse et la topologie
7 La théorie des probabilités
8 Mathématiques appliquées
9 Mathématiques récréatives
10 Mathématiques élémentaires (non universitaires)
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La science des nombres et de l’espace
L'étude des mathématiques commence avec les nombres, tout d'abord avec les nombres naturels et les nombres entiers. Les règles gouvernant les opérations usuelles sur les nombres (addition, multiplication, soustraction, division) font partie de l'arithmétique élémentaire. L'algèbre élémentaire est fondée sur l'abstraction de ces règles. L'étude des surfaces simples (polygones, cercles,...) forme la géométrie élémentaire.
Les mathématiques contemporaines ne se contentent pas de ces objets classiques que sont les nombres, entiers ou réels, et l’espace euclidien. De nouveaux types de nombres, d’espaces et d’êtres abstraits sont apparus.
La science des formes de déduction
Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. On peut dire que toutes les sciences sont mathématiques, même l’histoire, au sens où elles font toutes des déductions, et parce qu’une déduction a toujours quelque chose de mathématique, pourvu qu’elle soit juste.
Cependant, en mathématiques, l’étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple.
Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques, l’espace euclidien par exemple et pour étudier l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables à la fois pour la géométrie euclidienne et pour les équations différentielles linéaires. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées.
Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées. De nombreuses théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités, ...) ont une utilité générale pour toutes les sciences, parce qu’elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer des théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.
La science de tous les mondes possibles
Pour un mathématicien rien n’est impossible sauf ce qui est contradictoire. Par là on veut dire qu’un discours non-contradictoire est à propos d’un monde concevable, imaginable, idéal. Les mondes possibles sont parfois appelés des structures, lorsqu’ils sont très abstraits, ou des modèles.
De ce point de vue, la mathématique est la théorie de tout ce qu’on peut imaginer.
On croit souvent à tort que la connaissance de tous les possibles est une ambition démesurée et irréalisable mais elle ne l’est pas. Elle est à notre portée. Il est même très facile de connaître des vérités universelles, valables pour tous les possibles, le principe du tiers-exclu par exemple. Tout énoncé sur un monde possible y est ou bien vrai, ou bien faux. Ce n’est pas forcément très intéressant mais c’est un début.
Le travail des mathématiques pures consiste à augmenter notre capacité à connaître tous les possibles. Il se trouve qu’il y a des théories particulières (les nombres, les groupes, ...) qui jouent un rôle privilégié dans cette connaissance, et qu’elles sont souvent, mais pas toujours, les mêmes que celles qui intéressent les mathématiques appliquées. C’est pourquoi les structures étudiées ont souvent leur origine dans les sciences naturelles, plus communément en physique. Toutefois, un grand nombre de structures sont purement internes aux mathématiques, unifiant différents champs d'application ou étant des outils aidant aux calculs.
La logique et les théories des ensembles
La logique énonce les règles, ou principes, qu’il faut respecter pour faire des déductions correctes.
Les théories des ensembles sont des théories très générales qui permettent de formuler et de prouver toutes les connaissances mathématiques.
Fondation des mathématiques
Logique
Logique
Calcul propositionnel
Calcul des prédicats
Déduction naturelle
Logiques modales
Théorie des modèles
Incomplétude
Théories des ensembles
Théorie des ensembles
Axiomes de Zermelo-Fränkel
Théorie des catégories
L’arithmétique et les mathématiques discrètes
Arithmétique
Théorie des nombres
Congruences
Divisibilité
PGCD
PPCM
Théorème de d'Alembert-Gauss
Identité de Bézout
Petit théorème de Fermat
Équations diophantiennes
Cohérence des axiomes de l'arithmétique formelle
Cryptologie
Fonctions L
Dernier théorème de Fermat
Mathématiques discrètes
Mathématiques discrètes
Théorie des graphes
Les géométries
Géométrie
Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée
Géométrie euclidienne
Géométries non euclidiennes
Écrire les figures de la géométrie
Géométrie projective
Géométrie différentielle
Géométrie algébrique
Géométrie non commutative
Courbe plane
Orientation
Anamorphose
Trigonométrie
Trigonométrie classique et formules
Trigonométrie sphérique
L’algèbre
Algèbre
Structure algébrique
Algèbre élémentaire
Algèbre abstraite
Théorie des catégories
Théorie des groupes
Algèbre linéaire
Algèbre multilinéaire
Théorie de la représentation
L’analyse et la topologie
Analyse
Analyse
Suites
Séries
Analyse réelle
Nombres complexes, Analyse complexe
Analyse fonctionnelle
Algèbre des opérateurs
Analyse p-adique
Analyse rigide
Équations différentielles
Équations aux dérivées partielles
Analyse non standard
Analyse vectorielle
Intégrale de Lebesgue
Intégrale de Riemann
Développement limité
Topologie
Topologie
Espaces topologiques
Espaces métriques
Topologie algébrique
Théorie des nœuds
Théorie des tresses
K-théorie
La théorie des probabilités
Probabilités
Statistiques
Mathématiques appliquées
Les domaines des mathématiques appliquées utilisent la connaissance des mathématiques à fin de résolution des problèmes du monde réel.
Recherche opérationnelle
Optimisation
Probabilité
Statistiques
Mathématiques financières
Mathématiques commerciales
Mathématiques récréatives
Mathématiques récréatives
Mathématiques élémentaires (non universitaires)
Mathématiques élémentaires
Algèbre élémentaire
Analyse élémentaire
Arithmétique élémentaire
Géométrie élémentaire
Aire de surfaces usuelles
Solides usuels
Volume de solides usuels
Logique élémentaire
Probabilité élémentaire
Statistique élémentaire
Techniques de calcul
Techniques de calcul mental
Règle à calcul
Boulier
Liste des articles de technique de calcul
Critère de divisibilité
!!!!un whisky alors??? ou la bouteille?????!!
TYPES de Nombres
DEUX races principales dans le monde des nombres (nombres réels) On connaît les nombres pour compter dans la vie de tous les jours
1 2 3 4 5 …
Il y a aussi ceux qui ont une virgule et des chiffres derrière
1,25 3,14 0,222
TROIS types de nombres à virgule (nombres décimaux)
Il a ceux qui sont simples et gentils: Le nombre de chiffres derrière la virgule est fixe; ils correspondent à une découpe en parts (rations) simples, à une fraction simple.
0,5 = 1/2
0,25 = 1/4
Il a ceux plus facétieux qui jouent à ne jamais s'arrêter de répéter leurs chiffres; ils correspondent à des fractions plus compliquées.
1 / 3 = 0, 333333 ….
1 / 7 = 0,142857 142857 14 …
Il y a ceux qui ont un grain de folie. Les chiffres après la virgule semblent provenir du pur hasard.
1,414 213 562 373 095 … = v2
DEUX sortes de nombres un peu fous (nombres irrationnels)
Il y a les compréhensifs qui se laissent faire. Une formule simple (équation) les décrit.
x² = 2
Qui donne: x = v 2 = 1,414 213 562 373 095 …
Les pires sont ceux refusent de se laisser discipliner: aucune équation à coefficients entiers ne peut les définir. Ce sont les transcendants.
3,141 592 653 589 793 … = p
Note:
On peut trouver des transcendants avec une répartition régulière de leurs chiffres. C'est le cas du premier transcendant inventé par Liouville:
0,10 100 1000 10000 100000 ....
Bilan
2
= 2,00
ENTIER
1/2
= 0,5
Fractionnaire ou RATIONNEL
1/3
= 0,333333…
Fractionnaire périodique répétitif
1/7
= 0,285714 285714 …
Fractionnaire périodique de période 6
v 2
= 1,414 213 562 373 095 …
Non fractionnaire ou IRRATIONNEL
Il existe une égalité pour le définir: x² = 2
p
= 3,141 592 653 589 793 …
Non fractionnaire, donc irrationnel
mais il n'existe pas d'égalité simple pour le définir,
il est TRANSCENDANT
Il existe une infinité de nombres
Ils sont aussi très variés :
Naturel
Natural numbers
1, 2, 3 …
Entier
Whole numbers
Naturel avec le 0
Relatif
Integer
Entiers et négatifs
Rationnel
Rational
Fractions
Irrationnel
Irrational
Comme v 2 ou le nombre d’or
Transcendant
Transcendental
Comme pi et e, racine d’aucun polynôme
Réel
Real
Tous ceux cités ci-dessus
Imaginaire
Imaginary
Réel multiplié par i = v -1
Complexe
Complex
Somme d’un réel et d’un imaginaire
Transfini
Transfinite
Au delà de l’infini
Surréel
Surreal
Nombres situés entre les infinis
Les nombres entiers
Les nombres les plus simples sont
les nombres naturels, 1, 2, 3,…,
également appelés "nombres entiers"
"entiers positifs"
"entiers rationnels positifs"
ou
"nombres cardinaux"
Curiosité
N = n5 / 5 n3 / 3 7n / 15
= Nombre entier
C'est tout simplement que
3n5 5n3 7n est divisible par 15
Curiosité
epi v 163 = entier ?
Opérations sur les entiers: Nombres rationnels
Entier Entier =
Entier
Entier - Entier =
Entier positif ou négatif
Entier x Entier =
Entier
Entier / Entier =
Fraction
Fraction - Fraction =
Fraction positive ou négative
Entier - ce même Entier =
0
Bilan
Opérations sur les Entiers =
Nombres RATIONNELS
Les entiers et les fractions
positifs et négatifs
composent,
avec le nombre 0,
l'ensemble des nombres rationnels
Le quotient de la circonférence d'un cercle par son diamètre n'est pas un nombre rationnel : constante pi
La longueur de la diagonale d'un carré ne peut pas être exprimée par un nombre rationnel : constante v 2
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