HISTOIRE DE π (pi) 
 
 
 
 
π (pi) dans l'antiquité 
L’histoire de π (pi) est vieille de plusieurs millénaires. L’on retrouve sa trace dans plusieurs écrits de l’Antiquité. L’une des traces les plus anciennes que nous ayons de π (pi) remonte à la Bible !  
Dans deux passages de la Bible, π (pi) est implicitement cité  
« Il fit la mer de fonte. Elle avait dix coudées d'un bord à l'autre, une forme entièrement ronde, cinq coudées de hauteur, et une circonférence que mesurait un cordon de trente coudées. ».  
 
 
 
La bible nous donne donc une valeur imparfaite, puisqu’elle considère que π (pi) = 3. Mais cette approximation est tout à fait suffisante à ce quoi l’on l’utilisait. A cette époque et durant toute l’Antiquité, π (pi) n’était même pas définit mathématiquement, il n’était pas cette notion abstraite qui fascine tant les mathématiciens. Il était juste connu comme rapport entre la longueur du cercle et son diamètre et d'ailleurs surtout en tant que méthode de calcul du périmètre du cercle (ou de l'aire du disque). 
En fait, la trace la plus ancienne que nous ayons de π (pi) date de 2000 av. JC. A cette époque, les Babyloniens connaissaient Pi et l’utilisait avec comme valeur 3 7/60 30/3600 (ils comptaient en base 60) soit 3 1/8 = 3,125. 
 
Le papyrus de Rhind 
Vers 1650 av JC, les Egyptiens avaient comme valeur (16/9)2 qui vaut environ 3,16. La trace la plus ancienne de cette valeur à été retrouvée sur le papyrus de Rhind, écrit par le scribe Ahmès, qui est maintenant conservé au British Muséum. Ce Papyrus provient du temple mortuaire de Ramsès II à Thèbes, en Egypte et fut acheté par Alexander Rhind. Il a été écrit vers -1650 par le scribe Ahmès. Constitué de 14 feuilles de papyrus, il mesurait à l'origine plus de 5 m de longueur sur 32 cm de large. Il est le plus vieux traité de mathématiques du monde et contient 87 problèmes, de l'arithmétique résolution d'équations, l'arpentage (mesures des distances) et à la géométrie : aires planes (du trapèze en particulier), volumes de greniers à grains, calcul de pyramides.  
 
Après cette date, on retrouve trace de π (pi) dans quasiment toutes les civilisations, et avec des valeurs plus ou moins justes. C’est ainsi que l’on retrouve π (pi) : 
En Chine vers 1200 av JC, avec 3 comme valeur. 
En Grèce, avec ARCHIMEDE en 250 av. JC qui donne l'encadrement 223/71 < pi < 22/7 (il utilise des figures géométriques régulières pour calculer une approximation de plus en plus exacte de la surface du cercle : il utilise particulièrement les polygones) et avec Ptolémée en 150 qui utilise 3 8/60 30/3600 = 3,1416666. 
En Chine au Vème siècle, avec 355/113 comme valeur. 
En Inde ; avec 3 177/1250 = 3,1416 en 380 puis 3,16227 (racine carrée de 10) en 640. 
Au Moyen-Orient avec Al Khwarizmi en 800 (Ouzbékistan) et Al Kashi en 1429 (Turkestan) qui calcule 14 décimales de pi. 
En Europe ; avec FIBONACCI, en 1220 qui trouve la valeur 3,141818, au Pays-Bas, avec Van Ceulen (20 décimales en 1596 puis 34 décimales en 1609 !), en France avec Viète (9 décimales en 1593). 
 
 
 
 
La méthode d'Archimède fut utilisée pendant près de 2000 ans, Ludolph von Ceulen en 1609, qui après des années de travail, obtint grâce à elle 34 décimales du nombre pi qu'il fit graver sur sa tombe. Puis, la méthode d’ARCHIMEDE ayant montrée ses limites, de nouvelles méthodes de calcul sont trouvées en utilisant les techniques de calculs avec l'analyse (dérivée, intégrales, sommes de séries, produits infinis ...). Dès lors, les calculs s’accélèrent avec NEWTON (16 décimales en 1665), avec Gregory, LEIBNIZ, Machin, EULER (20 décimales calculées en une heure !) et beaucoup d'autres. 
A partir du XVIIIe siècle, on commence à se pencher sur les propriétés de π (pi), après avoir été définit, Johann Heinrich Lambert démontre son irrationalité en 1761(C'est-à-dire que π (pi) ne peut pas être écrit sous la forme d'une fraction p/q, avec p et q entiers). 
En 1794, le français Adrien-Marie LEGENDRE en donne une preuve encore plus simple dans son livre : Eléments de géométrie. Il prouve par la même occasion que π (pi) 2 l'est aussi, et il aboutit presque à la preuve de la transcendance de π (pi) (c'est-à-dire que le nombre π (pi) n'est racine d'aucun polynôme à coefficients entiers). Ce n’est que en 1882, que Lindemann en donne la preuve. Ce résultat permet alors de démonter l'impossibilité de la quadrature du cercle (les mathématiciens ont cherché pendant des centaines d’années à "carrer" le cercle, c'est-à-dire à trouver un carré dont l'aire soit égale à celle d'un cercle donné). 
 
John Machin découvrit en 1706 une formule qui permit pour la première fois le calcul à la main de 100 décimales (voir formule), cette formule est encore utilisée de nos jours. 
Williams Shanks calcula en 1874 les 707 décimales qui ornent le plafond de la salle π (pi) du Palais de la découverte. Les décimales étaient fausses à partir de la 528ème. L'erreur ne fut découverte qu’en 1945, et contrairement à ce que l'on raconte encore dans certains dictionnaires ou livres, ces décimales furent corrigées et sont aujourd'hui toutes parfaitement exactes. 
Les progrès des mathématiques combinés avec les progrès de l’informatique permettent dès lors de calculer toujours plus de décimales. Un mathématicien hindou, Srinivasa RAMANUJAN, fit des découvertes cruciales pour les progrès mathématiques au début du XXe siècle. Mais elles nu furent comprise que dans les années 80. Ce qui fut crucial pour les calculs de π (pi). 
 
 
 
Un mathématicien canadien, Simon Plouffe, découvrit le 19 
septembre 1995 (à 0h29) avec l'aide de Peter Borwein et David Bailey une formule qui bouleversa toutes les formules de calcul de π (pi). Cette formule possède en réalité la propriété de pouvoir calculer les décimales de π (pi) en base 2 indépendamment. Jusqu'à présent, il était impossible de connaître séparément les décimales de π (pi), cela obligeait à calculer les précédentes.  
Un an plus tard, Simon Plouffe renouvelle l'exploit en la base 10, mais elle n'est pas applicable car elle est quadratique (convergence en n2). Il a aussi démontré que cela est possible dans toutes les bases. 
C’est ainsi que Colin Percival a obtenu la 40'000 milliardième décimale binaire de pi le mardi 9 février 1999 en utilisant la formule de Bellard. Fabrice Bellard (Français) a d'ailleurs obtenu le record du monde du calcul de décimale binaire de pi le lundi 22 septembre 1997 en utilisant la série de Plouffe, il avait réussit à calculer la 1000 milliardième décimale en binaire du nombre π (pi) (c’est un 1). 
Pour le calcul de toutes les décimales, les champions sont les frères Chudnovsky avec 4 milliards de décimales en 1994 et Kanada et Tamura avec 206 milliards de décimales en 1999. 
Le dernier record date du 6 décembre 2002. Il est de 1 241 100 000 000 décimales et a été obtenu par l'équipe de Kanada grâce aux superordinateurs 
 
π (pi) : définition  
 
La définition de π (pi) telle qu’on l'explique habituellement : 
Pi : nom masculin. Seizième lettre de l'alphabet grec (Π, π). Nombre irrationnel exprimant le rapport constant du périmètre d’un cercle et de son diamètre; π (pi) est égal à 3,141592..., à 1/1 000 000 près (le nombre des décimales est infini) ; π (pi) est utilisé pour le calcul d'une circonférence, de la surface du cercle, du volume d'une sphère, etc. Une valeur approchée usuelle est 22/7. En trigonométrie, π (pi) est la valeur en radians de l'angle de 180°.  
Le nom de pi vient du grec peripheria (περιφερια) ou de perimetros (περιμετρον) qui désigne la circonférence d'un cercle. Autrefois, quelques mathématiciens utilisaient cette lettre pour désigner le périmètre et non son rapport. 
 
La définition de π pour le mathématicien :  
π n'est pas seulement égal à l'aire d'un cercle sur son rayon au carré.  
 
 
 
LA VALEUR EXACTE DE П : 
 
Pour commencer la dessus voici les cent premières décimales de π (pi) 
π (pi) ≈ 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067 
 
En voici maintenant 1000 décimales de π (pi) 
π (pi) ≈  
 
= 
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286 
208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128 
481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475 
648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 
724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820 
466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548 
074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021 
394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132 
000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549 
585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960 
518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522 
308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 
598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001 
9278766111959092164201989 
 
Vous remarquerez que l'on emploi pas le signe = mais le signe ≈ car π (pi) , on l'a vu ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction simple, son nombre de décimales étant infini, quelque soit la valeur de l'approximation : 10, 100 1000 des millions, des milliards de décimales, ce ne sera jamais la valeur exacte de π (pi). Donc on ne peut pas employer le signe = quand on donne les décimales de π (pi) 
 
Utilité de π (pi) 
Certains diront que π (pi) ne sert à rien, que toutes ces décimales sont une perte de temps,que leur connaissance n'apporte rien. Mais ils ont tord car bien que 30 à 40 décimales suffirait pour calculer la masse de l'univers à l'atome près, les décimales de π (pi) sont très utiles : 
 
Pour commencer, le calcul d'un nombre de plus en plus grand de décimales demande des algorithmes de plus en plus rapide, hors ces algorithmes servent aussi dans les ordinateurs et π (pi) est un bon moyen de trouver des algorithmes très puissants. Ce qui permet d'améliorer sans cesse la vitesse des ordinateurs  
De plus, toujours en informatiques, le calcul des décimales permet de vérifier la précision des ordinateurs et de vérifier leur bon fonctionnement ( ça a déjà permit de découvrir de graves problèmes sur les super-ordinateurs IBM 590 et R8000) et oui π (pi) sert à quelque chose.  
La recherche de "motifs" de régularité et les calculs de statistiques sur les chiffres du nombre pi nécessitent de connaître de plus en plus de décimales.  
Et puis, d'une manière plus philosophique, π (pi) est une sorte de Graal pour les mathématiciens, il est presque mystique. Sa connaissance, le calcul de ses décimales est donc une course permanente et ceux qui la gagneront seront couvert de gloire (et de décimales  
 
Calcul de π (pi) 
 
LA METHODE DES POLYGONES 
L’on pense que c’est ARCHIMEDE qui a introduit la première méthode d’approximation de π (pi). Il procéda par la méthode dite "des polygones".  
Cette méthode essaie d’encadrer un cercle dans un polygone de plus en plus précis. ARCHIMEDE (entre autres) pensait que le périmètre d’un cercle peut être encadré par les périmètres de deux polygones réguliers (l’un inscrit et l'autre circonscrit au cercle). En commencent par un cercle de 1 cm de diamètre, il arrive au périmètre de l'hexagone inscrit qui est égal à 3 ; celui de l'hexagone circonscrit vaut environ 3,47 (2 3). En calculant les périmètres de polygones ayant plusieurs centaines, puis plusieurs milliers de côtés, et en divisant les résultats par le diamètre du cercle, on peut ainsi trouver une approximation de π (pi) de plus en plus précise. 
Puis, vinrent d’autres méthodes d’approximations de π (pi) :  
 
MÉTHODE DU JET D’AIGUILLES 
L'expérience des aiguilles de Buffon (XVIIème siècle) consiste à lancer des aiguilles sur un parquet de lattes de la même largeur. Prenant la largeur d'une latte égale à la longueur d'une aiguille, la probabilité qu'une aiguille tombe sur deux lattes à la fois est de deux fois sur π (pi). Plus on lance d’aiguilles, plus la mesure de π (pi) est précise. 
En 1901, Lazzerini a calculé après 3408 lancers l'approximation de Pi 3,1415929... 
 
MÉTHODE DE MONTE-CARLO 
La méthode de Monte-Carlo est une méthode statistique comme celle du jet d'aiguilles. Elle consiste à tracer un carré dont un demi côté mesure une unité, et à inscrire un cercle à l'intérieur de ce carré.  
La surface du carré est de 4 et celle du cercle se retrouve égale à π (pi). 
Choisissant au hasard un point du carré, la probabilité qu'il se trouve dans le cercle est de π (pi) /4. En choisissant de manière aléatoire des points dans le carré, le rapport entre le nombre de points se trouvant dans le cercle et le nombre de points choisis va s'approcher de π (pi) /4. D'autant plus que le nombre de points choisis est grand 
 
MÉTHODE DES FRACTIONS CONTINUES 
La méthode dite des fractions continues consiste à développer le nombre en une suite continue de nombres fractionnaires. Décomposant en 3 0,141592..., on rapproche alors de 3 1/7, autrement dit 22/7. Poursuivant l'expérience, on obtient 3 1/ (7 1/15), soit 333/106. Puis 3 1/ (7 1/ (15 1/1)) = 355/113. 
Ensuite, c'est 103993/33102 qui apparaît. En utilisant cette méthode, on retrouve aussi pour π (pi) 2 les valeurs approchées 227/23 et 10975/1112 ; pour π (pi) 3 l'approximation 123498/3983 ; pour π (pi) 4, on note 2143/22.  
 
 
Avec l’arrivée des progrès mathématiques, les formules pour calculer π (pi) devinrent plus complexes dans un sens, mais elles permirent et permettent toujours de calculer un nombre de plus en plus grand de décimales de π (pi). Mais depuis 20 ans, les méthodes s’accélèrent de plus en plus. Le calcul de π (pi) par les méthodes mises au point au cours des 20 dernières années, se fait en répétant certaines manipulations organisées sur des nombres. Ces algorithmes construisent simultanément plusieurs suites de nombres, dont l'une donne des approximations de plus en plus fines de π (pi).